Formler - Envariabelanalys

Derivata

Definition

$f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) - f(x)]/h$

Grunddefinitionen av derivata som gränsvärde av differenskvot

Konstant

(c)' = 0

Derivatan av en konstant är alltid noll

Linjär funktion

(ax + b)' = a

Derivatan av en linjär funktion är koefficienten

Potens

$(x^n)' = nx^{n-1}$

Potensregeln: sänk exponenten och multiplicera med ursprungsexponenten

Kedjeregeln

[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)

För sammansatta funktioner: derivatan av yttre gånger derivatan av inre

Produktregeln

Produktregel för derivata

Derivatan av en produkt: första deriverad gånger andra plus första gånger andra deriverad

Kvotregeln

Kvotregeln för derivata

Derivatan av en kvot: täljare minus nämnare delat med nämnaren i kvadrat

Reciprok

(1/x)' = -1/x²

Derivatan av inversen av x

Trigonometriska funktioner

Sinus

(sin x)' = cos x

Derivatan av sinus är cosinus

Cosinus

(cos x)' = -sin x

Derivatan av cosinus är minus sinus

Tangens

Derivatan av tangens x

Derivatan av tangens är sekans i kvadrat

Arctan

(arctan x)' = 1/(1 + x²)

Derivatan av arcustangens

Arcsin

Derivatan av arcsinus x

Derivatan av arcussinus

Arccos

Derivatan av arccosinus x

Derivatan av arcuscosinus

Exponential- och logaritmfunktioner

Exponential e^x

(e^x)' = e^x

Exponentialfunktionen är sin egen derivata

Allmän exponential

Derivatan av a upphöjt till x

Derivatan av allmän exponentialfunktion

Naturliga logaritmen

(ln x)' = 1/x

Derivatan av naturliga logaritmen är reciproken av x

Allmän logaritm

Derivatan av logaritm med bas a

Derivatan av logaritm med allmän bas

Integral

Grundsatsen

Analysens fundamentalsats

Analys grundsats: bestämd integral = primitiv funktion utvärderad

Potens

Integral av x upphöjt till n

Potensregel för integration, gäller för n ≠ -1

Exponential

Integral av e upphöjt till x

Integralen av exponentialfunktionen är sig själv

Reciprok

Integral av 1 delat med x

Integralen av reciproken är naturliga logaritmen

Sinus

Integral av sinus x

Integralen av sinus är minus cosinus

Cosinus

Integral av cosinus x

Integralen av cosinus är sinus

Partiell integration

Partiell integration

Metod för att integrera produkter av funktioner

Substitution

Substitutionsregeln för integraler

Metod för att förenkla komplicerade integraler

Specialfall och användbara formler

Binomialsatsen

(a + b)^n = Σ(n choose k) a^(n-k) b^k

Utveckling av binomialuttryck upphöjt till n

L'Hôpitals regel

L'Hôpitals regel

Metod för att beräkna gränsvärden av typen 0/0 eller ∞/∞

Taylorutveckling

Allmän Taylorserie

Utveckling av funktion som oändlig serie

e^x utveckling

Taylorserie för e upphöjt till x

Taylorserien för exponentialfunktionen

sin x utveckling

Taylorserie för sinus x

Taylorserien för sinus, endast udda termer

cos x utveckling

Taylorserie för cosinus x

Taylorserien för cosinus, endast jämna termer

Tips för att använda formlerna

Memorera grunderna

Lär dig de viktigaste formlerna utantill: derivata av x^n, e^x, sin x, cos x, och grundläggande integraler.

Förstå sambanden

Integration och derivering är omvända operationer. Derivata av integralen ger ursprungsfunktionen tillbaka.

Öva på kedjeregeln

Kedjeregeln är den mest använda regeln. Öva mycket på sammansatta funktioner och "derivata av inre gånger derivata av yttre".

Kontrollera dina svar

För derivator: derivera ditt resultat och kontrollera att du får ursprungsfunktionen. För integraler: derivera svaret.

Tänk på definitionsområden

Många formler har begränsningar. Till exempel är ln(x) bara definierad för x > 0, och tan(x) är inte definierad för x = π/2 + nπ.

Ha en systematisk approach

Identifiera funktionstypen först, välj rätt regel, visa alla steg tydligt och kontrollera resultatet till slut.